不确定度关系 uncertainty relation
量子力学状态的一个重要性质。它界定了用经典力学描述作为近似时的近似程度,又称测不准关系。

W.K.海森伯从想象中的实验出发,基于德布罗意关系得出测量坐标的不确定度Δq与测量动量不确定度Δp二者之间应有ΔqΔp~?关系,此处?为普朗克常数h除以2π。测量中的不确定度是量子力学描述的微观粒子状态性质的反映,并非测量手段的不完善所致。
用量子力学可以严格证明,在力学量算符q、p满足对易关系[q,p]=i?条件下,它们的不确定度Δq和Δp必然满足:ΔqΔp≥?/2。
不确定度定义为。
式中<>符号代表力学量平均值。这是任意量子力学态的力学量不确定度的普遍性质。
不确定度关系在量子力学中有普遍的呈现。如一维谐振子的基态能量?ω/2(ω为振子角频率)就是不确定度关系的体现。
根据经典力学,最低能量态是粒子位于原点且动量为零,此时能量为零。根据不确定原理,位于原点的粒子态(Δq=0)动量可以任意大,动量为零的粒子态(Δp=0)坐标可任意大,因此它的能量不可能最小。
将能量对Δq或Δp的变化求极小值,就得到?ω/2,这是位置和动量的不确定性“协调”得到最低能量的结果。这个能量被称为零点能。
零点能在物理学中是很重要的,如激发原子的自发辐射就是电子和电磁场的零点能(又称真空涨落)相互作用的结果。
物理学中各种体系的特征能量尺度也可从不确定关系直接得出。如原子大小为厘米,将电子局限在这个范围内,厘米。它的动量不确定度就是Δp~?/Δx,相应的能量数量级是电子伏(m为电子质量)。
类似地,原子核的特征能量大小为百万电子伏数量级。
量子力学中还有一个能量和演化时间的不确定度关系ΔEΔt~?。它的地位和位置-动量不确定度关系不同。
位置与动量是一对共轭力学量,满足对易关系[q,p]=i?。时间在量子力学中不是力学量,仅是个参数。
用自由波包的演化可通过波粒二象性导出能量-时间的不确定度关系。波包的能量不确定度和动量不确定度的关系是:
用E=?ω,P=?k得到:
因此,。
令波包宽度为Δx,则波包通过空间某一点所需的时间(时间不确定度)为,故有ΔEΔt≈ΔxΔp≈?。
如果体系的亚稳态寿命为τ,则根据能量-时间的不确定度关系,它的能级宽度应该为?/τ。量子力学的定态是能量本征态(ΔE=0),因此寿命应为。
但原子的激发态寿命有限,这是因为电子和辐射场的真空涨落相互作用的结果。
当大量玻色子位于同一个量子状态时(如单模激光或玻色-爱因斯坦凝聚),还有一种不确定度关系ΔNΔθ≥1,此处N、θ分别代表粒子数和状态函数的相位。作为算符,N、θ满足[N, θ]=-i。在粒子数很大时可以应用,否则将θ作为量子算符有理论上的困难。
推荐书目
HEISENBERG W. Physical Principles of the Quantum Theory,Chicago:University of Chicago Press,1930.
摘自:《中国大百科全书(第2版)》第3册,中国大百科全书出版社,2009年
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